Exercícios Media, Moda & Mediana

1)
Suponha que parafusos a serem utilizados em tomadas elétricas são
embaladas em caixas rotuladas como contendo 100 unidades. Em
uma construção, 10 caixas de um lote tiveram o número de
parafusos contados, fornecendo os valores 98, 102, 100, 100, 99,
97, 96, 95, 99 e 100.
Calcule as medidas resumo de posição (média, mediana e moda) para
o número de parafusos por caixa.

Resposta:
média = 98,6; mediana = Md = 99 e moda = Mo = 100

2)
Nas caixas de parafusos do exemplo anterior, admita um custo de
“c” reais por parafuso e de “e” reais pela caixa.
Calcule as medidas de posição do custo líquido por caixa “L”,
definido como o custo dos parafusos por caixa, e do custo total
por caixa “T”, definido como a soma dos custos dos parafusos por
caixa e da embalagem.
Dica: neste exercício, utilizar a propriedade de que uma
transformação linear de variável observada x também
transforma linearmente suas medidas de posição.

R: média(L) = 98,6 c ; Md(L) = 99 c e Mo(L) = 100 c
média(T) = 98,6 c + e; Md(T) = 99 c + e e Mo(T) = 100 c + e

3)
Foram coletadas 150 observações da variável x, representando o número de
vestibulares FUVEST prestados por um aluno até passar. A tabela de frequências
para x é a seguinte:
xi 1 2 3 4
ni 75 47 21 7 150
Calcule as medidas de posição da variável x e da variável despesa com o vestibular,
definida como d=50x+1300, onde 50 é o custo com a inscrição por vestibular e
1300 o custo com a preparação para o vestibular, assumida ser realizada uma
única vez.

R: média(x) = 1,73; Md(x) = 1,5 e Mo(x) = 1
média(d) = 1386,5; Md(d) = 1375 e Mo(d) = 1350

4)
Numa classe com 12 alunos de um curso de inglês, os alunos
indicaram o número de outras línguas (além de português e
inglês) com que tinham alguma familiaridade. O resultado foi o
seguinte: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2 e 4.
Obtenha as medidas resumo de posição e dispersão (variância e
desvio padrão).

R: x = número de línguas com que o aluno declara-se familiar
média(x) = 1,08; Md(x) = 1 e Mo(x) = 1
variância do conjunto de dados = var(x) = 1,2431; dp(x) = 1,1149

Exercícios e Gabarito - Equações Biquadradas

Questão 1

Determine o conjunto solução da seguinte equação biquadrada: x⁴ – 5x² + 4 = 0.

Questão 2

Calcule as raízes da seguinte equação: 4x⁴ – 9x² + 2 = 0.

Questão 3

Calcule as raízes da seguinte equação x⁶ + 117x³ – 1000 = 0.

Questão 4

Resolva a equação 3x² * (x² – 5) = 5 – x².

Respostas

Resposta Questão 1

Resposta Questão 2

Resposta Questão 3

Resposta Questão 4

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Equações Biquadradas

Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax4 + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau.

Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.

y4 – 10y2 + 9 = 0 → equação biquadrada

(y2)2 – 10y2 + 9 = 0 → também pode ser escrita assim.

Substituindo variáveis: y2 = x, isso significa que onde for y2 iremos colocar x.

x2 – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x` e x``

a = 1 b = -10 c = 9

∆ = b2 – 4ac
∆ = (-10)2 – 4 . 1 . 9
∆ = 100 – 36
∆ = 64

x = - b ± √∆
2a

x = -(-10) ± √64
2 . 1

x = 10 ± 8
2

x’ = 9

x” = 1

Essas são as raízes da equação x2 – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y4 – 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em y2 = x.

Para x = 9
y2 = x
y2 = 9
y = √9
y = ± 3

Para x = 1
y2 = x
y2 = 1
y = √1
y = ±1

Portanto, a solução da equação biquadrada será:

S = {-3, -1, 1, 3}.

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Moda, Mediana & Media

A moda e a mediana são, assim como a média, medidas de tendência central de um conjunto de dados. São chamadas também de medidas de posição, pois servem para "resumir", em apenas uma informação, a característica desse conjunto de dados.

Dependendo da situação, é mais conveniente usar a média, a moda ou a mediana.

A partir das medidas das alturas de um grupo de pessoas, é possível calcular uma altura que caracteriza o grupo todo.

Conhecendo as notas de um aluno durante um semestre da faculdade, é possível calcular uma nota que "resume" a sua situação no semestre.

Com base no número de gols de um time, em várias partidas de um campeonato, é possível chegar a um número de gols que descreva a sua situação no campeonato.

Observando os tempos de viagem de um determinado ônibus, em várias viagens, é possível se chegar a um valor que indica, em geral, o tempo dessa viagem.

Moda
Moda é a medida de tendência central que consiste no valor observado com mais frequência em um conjunto de dados.

Se um determinado time fez, em dez partidas, a seguinte quantidade de gols: 3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 2, 1, 3, 1; a moda desse conjunto é de 3 gols.

Se uma linha de ônibus registra, em quinze ocasiões, os tempos de viagens, em minutos: 52, 50, 55, 53, 61, 52, 52, 59, 55, 54, 53, 52, 50, 51, 60; a moda desse conjunto é de 52 minutos.

As alturas de um grupo de pessoas são: 1,82 m; 1,75 m; 1,65 m; 1,58 m; 1,70 m. Nesse caso, não há moda, porque nenhum valor se repete.

Mediana
Mediana é uma medida de tendência central que indica exatamente o valor central de uma amostra de dados.

Exemplos:

As notas de um aluno em um semestre da faculdade, colocadas em ordem crescente, foram: 4,0; 4,0; 5,0; 7,0; 7,0. São cinco notas. A mediana é o valor que está no centro da amostra, ou seja, 5,0. Podemos afirmar que 40% das notas estão acima de 5,0 e 40% estão abaixo de 5,0.

A quantidade de hotéis 3 estrelas espalhados pelas cidades do litoral de um determinado Estado é: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10, 10, 10. Como a amostra possui dez valores e, portanto, não há um valor central, calculamos a mediana tirando a média dos dois valores centrais:

Assim, há exatamente 50% das cidades com mais de 6 hotéis três estrelas e 50% das cidades com menos de 6 hotéis três estrelas.

Dessa forma, podemos resumir o cálculo da mediana da seguinte forma:

- os valores da amostra devem ser colocados em ordem crescente ou decrescente;
- se a quantidade de valores da amostra for ímpar, a mediana é o valor central da amostra. Nesse caso, há a mesma quantidade de valores acima e abaixo desse valor;
- se a quantidade de valores da amostra for par, é preciso tirar a média dos valores centrais para calcular a mediana. Nesse caso, 50% dos valores da amostra estão abaixo e 50% dos valores da amostra estão acima desse valor

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Equação do 1º Grau

Exercícios e Gabarito - Equação do 1º Grau

Exercícios de Equações de 1º Grau
1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

2) Resolva as equações a seguir:
a)18x - 43 = 65
b) 23x - 16 = 14 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12
e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4
f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2

3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):
a) 5/x - 2 = 1/4 (x ( Diferente ) 0)
b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

Gabarito

1) x + (x + 1) + (x + 2) = 393

3x + 3 = 393

3x = 390

x = 130

Então, os números procurados são: 130, 131 e 132

2) Resposta

Resposta a:

18x = 65 + 43
18x = 108
x = 108/18
x = 6

Resposta b:

23x = 14 - 17x + 16
23x + 17x = 30
40x = 30
x = 30/40 = 3/4

Resposta c:
10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20
5y - 6y = -26 + 5
-y = -21
y = 21

Resposta d:
x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 12
2x² + 6x = 2x² + 12
Diminuindo 2x² em ambos os lados:
6x = 12
x = 12/6 = 2

Resposta e:
[2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 20
2x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x
-6x - 6 = 15 - 5x
-6x + 5x = 15 + 6
-x = 21
x = -21

Resposta f:
4x² + 24x - x² = 5x²
4x² - x² - 5x² = -24x
-2x² = -24x
Dividindo por x em ambos os lados:
-2x = - 24
x = 24/2 = 12

3) (3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6

6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)

18a + 36 = 16a + 80

2a = 44

a = 44/2 = 22

4) Resposta a:

(20 - 8x) / 4x = x/4x
20 - 8x = x
-8x = x - 20
-8x - x = -20
-9x = -20
x = 20/9

Resposta b:
3bx = 7bx + 3bc - 6bc
3bx - 7bx = -3bc
-4bx = -3 bc
x = (3bc/4b)
x = 3c/4

Equação do 1º Grau

Utilizamos uma equação para calcular o valor de um termo desconhecido que será representado por uma letra, cuja representação mais usual se dá por x, y e z. As equações possuem sinais operatórios como, adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação e igualdade. O sinal de igualdade divide a equação em dois membros, os quais são compostos de elementos constituídos por dois tipos:

Elemento de valor constante: representado por valores numéricos.
Elemento de valor variável: representado pela união de números e letras.

Observe exemplos de equações do 1º grau com uma incógnita:

x + 1 = 6
2x + 7 = 18
4x + 1 = 3x – 9
10x + 60 = 12x + 52

Para resolver uma equação, precisamos conhecer algumas técnicas matemáticas. Vamos, por meio de resoluções comentadas, demonstrar essas técnicas.

Exemplo 1:

4x + 2 = 8 – 2x

Em uma equação, devemos separar os elementos variáveis dos elementos constantes. Para isso, vamos colocar os elementos semelhantes em lados diferentes do sinal de igualdade, invertendo o sinal dos termos que mudarem de lado. Veja:

4x + 2x = 8 – 2

Agora aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes.

6x = 6

O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve passar para o outro lado, dividindo o elemento pertencente ao 2º membro da equação. Observe:

x = 6 / 6
x = 1

Portanto, o valor de x que satisfaz à equação é igual a 1. A verificação pode ser feita substituindo o valor de x na equação, observe:

4x + 2 = 8 – 2x
4 * 1 + 2 = 8 – 2 * 1
4 + 2 = 8 – 2
6 = 6 → sentença verdadeira
Todas as equações, de uma forma geral, podem ser resolvidas dessa maneira.

Exemplo 2:

10x – 9 = 21 + 2x + 3x
10x – 2x – 3x = 21 + 9
10x – 5x = 30
5x = 30
x = 30/5
x = 6

Verificando:

10x – 9 = 21 + 2x + 3x
10 * 6 – 9 = 21 + 2 * 6 + 3 * 6
60 – 9 = 21 + 12 + 18
51 = 51 → sentença verdadeira

O valor numérico de x que satisfaz à equação é 6.

Exemplo 3:

3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10
3x – 7x = –40
– 4x = – 40

Nos casos em que a parte da variável se encontra negativa, precisamos multiplicar os membros por –1.

– 4x = – 40 * (–1)
4x = 40
x = 40/4
x = 10

Verificando:
3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
3 * 10 – 2 * 10 + 10 = 10 + 5 * 10 – 40
30 – 20 + 10 = 10 + 50 – 40
20 = 20 → sentença verdadeira

Exemplo 4:

10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2
– 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2
– 13x + 8x = – 10
– 5x = – 10 * (–1)
5x = 10
x = 10/5
x = 2

Verificando:

10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1)
10 – (8 * 2 – 2) = 5 * 2 + 2(– 4 * 2 + 1)
10 – (16 – 2) = 10 + 2(–8 + 1)
10 – (14) = 10 + 2(–7)
10 – 14 = 10 – 14
– 4 = – 4 → sentença verdadeira

Gabarito

1)
Resposta a:

a = 5 ; b = -3 ; c = -2
Equação completa

Resposta b:
a = 3 ; b = 0 ; c = 55
Equação incompleta

Resposta c:
a = 1 ; b = -6 ; c = 0
Equação incompleta

Resposta d:

a = 1 ; b = -10 ; c = 25
Equação completa

2) Sabemos que são duas as raízes, agora basta testarmos.

(-2)2 - 2*(-2) - 8 = 0 (-2)2 + 4 - 8 4 + 4 - 8 = 0 (achamos uma das raízes)

02 - 2*0 - 8 = 0 0 - 0 - 8 0

12 - 2*1 - 8 = 0 1 - 2 - 8 0

42 - 2*4 - 8 = 0 16 - 8 - 8 = 0 (achamos a outra raíz)

3)(-3)² - 7*(-3) - 2c = 0

9 +21 - 2c = 0

30 = 2c

c = 15

4)5 + 9 / 2 = 14/2 = 7

5 - 9 / 2 = -2

x = 7 ou -2

Exercícios - Equação do 2º Grau

Exercícios de Equações de 2º Grau
1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:
a) 5x2 - 3x - 2 = 0
b) 3x2 + 55 = 0
c) x2 - 6x = 0
d) x2 - 10x + 25 = 0

2) Achar as raízes das equações:
a) x2 - x - 20 = 0
b) x2 - 3x -4 = 0
c) x2 - 8x + 7 = 0

2) Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-2x-8= 0?

3) O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c:

4) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número?

Vídeo Aula - Equação do 2º Grau

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Equação do 2º Grau

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, em que o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.